必背口诀 导数通关
高中数学 · 导数专题 高三冲刺 🚀 二次元图解 🎀

对数单身狗，
指数找朋友

导数压轴通关口诀 · 1 句口诀 + 2 大心法 + 3 道例题

对数单身狗报到！
我……比较喜欢一个人待着。
走开啦，我要去找朋友组队！
（拉上 x+1、x²/2 一起）

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START · 作战地图

这节课，我们学什么？

听懂口诀 → 学会套路 → 拿捏压轴

🎯 学习目标

  • 听懂「对数单身狗，指数找朋友」到底在说什么；
  • 掌握两大变形套路：分离（散） 与 捆绑（聚）；
  • 能用口诀解决「恒成立求参」和「不等式证明」两类压轴题。

🗺️ 闯关路线

① 痛点导入→ ② 口诀解密→ ③ 对数单身狗→ ④ 指数找朋友→ ⑤ 例题 ×3→ ⑥ 易错雷达→ ⑦ 小测验 + 作业

📌 一句话预告

对数求“散”：让 ln x 单独出现，越“孤独”越好算；  指数求“聚”：给 ex 找个“朋友”捆绑在一起，让 ex 隐身，符号只看朋友。

WHY · 痛点导入

为什么导数压轴让人“头秃”？

先围观一道题的“常规死法”

📝 热身题

求证：当 x ≥ 0 时，ex ≥ 1 + x + x22。

🐢 常规打法：作差 + 求导套娃

设 h(x) = ex − 1 − x − x22
  • h′(x) = ex − 1 − x，h′(0) = 0 —— 符号不明 😵
  • h″(x) = ex − 1，h″(0) = 0 —— 还是不明 😵‍💫
  • 只能再求三阶导 h‴(x) = ex > 0，再一阶一阶往回推……人已经麻了。

😱 弹幕现场

又是三阶导数！ 层层套娃，取点地狱 考场上时间够吗？ 有没有一步到位的操作？？

右端越复杂，套娃越深：二阶、三阶……根本停不下来。救命！

别急 —— 两句口诀，专治“求导套娃”。下一关见！

KEY · 口诀登场

两句话，看穿导数的套路

对数要“孤独”，指数要“组队”

对数单身狗，

指数找朋友。

🐶 对数单身狗

让 ln x “单身”——单独出现、单独待一边。
它越孤独，求导越简单（只有 1/x 陪着它）。

✨ 指数找朋友

让 ex “找朋友”——与其它因式相乘捆绑成 ex·g(x)。
组队之后，它自己隐身，符号只看朋友。

一个人也挺好，1/x 陪着我就够了……
组队才有力气！x+1、x2/2 都来当我的朋友！
STEP 1 · 心法一

对数单身狗：让 ln x 单独出现

越孤独，越好算

🤔 为什么？

  • (ln x)′ = 1x，简单到人畜无害；
  • 但 ln x 一旦与复杂因式相乘（如 x ln x、(x2−1) ln x），求导后 1/x 会在整条式子里“到处乱窜”，越求越乱；
  • 所以：能拆就拆、能分离就分离，让 ln x 独自美丽。

🛠️ 两种“单身”操作

  • 套路① 分离参数：把参数挖到一边，恒成立问题变成最值问题，顺带让 ln x 单独与简单函数作伴（例如 g(x) = ln x + 1x）；
  • 套路② 切线放缩：让 ln x “单挑”一次函数：
    ln x ≤ x − 1（x = 1 取等）；
    ln x ≥ 1 − 1x（x = 1 取等）。

🔍 微演示：证明 ln x ≤ x − 1（x > 0）

  • 设 φ(x) = ln x − (x − 1) = ln x − x + 1；
  • 求导：φ′(x) = 1x − 1 = 1 − xx —— 通分一步到位，这就是「单身」的快乐；
  • x ∈ (0, 1) 时 φ′ > 0，φ 递增；x ∈ (1, +∞) 时 φ′ < 0，φ 递减；
  • 最大值 φ(1) = 0，所以 ln x ≤ x − 1 恒成立。∎
一个人 + 一条切线，没人能欺负我～
STEP 2 · 心法二

指数找朋友：让 eˣ 与“朋友”组队

它隐身，朋友出力，符号只看朋友

🤔 为什么？

[ ex · g(x) ]′ = ex · [ g(x) + g′(x) ]
  • ex > 0 恒成立 —— 乘积的符号完全由「朋友」g(x) + g′(x) 决定，ex 负责隐身；
  • 对比：让 ex 单打独斗做差，导数里 ex 阴魂不散，常常要二阶、三阶（就是上一关的套娃地狱 🤯）。

🛠️ 怎么操作？

  • 两边同乘 e−x（等价于同除 ex）—— e−x > 0 恒成立，不用讨论符号、不等号不会变向，是最“安全”的一张牌；
  • 目标形态：把 ex ≥ F(x) 变成 1 ≥ F(x)·e−x，再把 F(x)e−x 当成整体求导。

🔍 微演示：证明 ex ≥ x + 1（对一切 x ∈ ℝ）

  • 同乘 e−x > 0：等价于 1 ≥ (x + 1)·e−x；
  • 设 g(x) = (x + 1)e−x；
  • 求导：g′(x) = e−x·[ 1 − (x + 1) ] = −x·e−x；
  • x ∈ (−∞, 0) 时 g′ > 0，x > 0 时 g′ < 0，最大值 g(0) = 1；
  • 所以 1 ≥ g(x) 恒成立，原式得证。∎
朋友扛伤害，我负责站岗（永远 > 0）！
STEP 3 · 一图流

对数 vs 指数 对照表

一个求“散”，一个求“聚”

遇到谁 口诀 & 策略 核心操作 看家公式 / 不等式 求导后的“画风”
对数 ln x 对数单身狗 · 求“散” 参数分离、把 ln x 拆出来单独成项，或单独放缩 (ln x)′ = 1x；
ln x ≤ x − 1；
ln x ≥ 1 − 1x		 1/x 参与通分，干净利落；
若与复杂因式相乘，容易“炸”成一片
指数 ex 指数找朋友 · 求“聚” 同乘 e−x，把 ex 与因式捆绑成 ex·g(x) [exg]′ = ex(g + g′)；
ex ≥ x + 1；
ex ≥ ex		 ex 提出后永不影响符号，
单调性只看 g + g′

💡 升级版记忆

对数要孤独，指数要组队；
对数乘开“散”，指数收拢“聚”。

STEP 4 · 例题闯关 ①

对数单身狗 · 分离参数

让参数“出门”，让 ln x “独居”

📝 题目

设 a ∈ ℝ，若对任意 x > 0，不等式 x·ln x ≥ ax − 1 恒成立，求 a 的取值范围。

🧭 思路：把 ln x “救”出来

x ln x ≥ ax − 1
⇕ 两边同除以 x（x > 0，安全）
ln x + 1x ≥ a 对一切 x > 0 恒成立

现在 ln x 单身了，还自带一个好搭档 1/x。

⚙️ 求解步骤

  • 分离参数：a ≤ g(x) = ln x + 1x（x > 0）；
  • 求导：g′(x) = 1x − 1x2 = x − 1x2（通分，一步到位）；
  • x ∈ (0, 1)：g′ < 0，递减；x ∈ (1, +∞)：g′ > 0，递增；
  • 最小值 g(1) = 0 + 1 = 1；
  • 所以 a ≤ 1，即 a ∈ (−∞, 1]。

🆚 如果不分离……

直接对 F(x) = x ln x − ax + 1 求导：F′(x) = ln x + 1 − a —— 式子里既有 ln x 又有参数 a，还得对 a 一顿分类讨论，麻烦加倍。“单身”的快乐，你值得拥有。

STEP 4 · 例题闯关 ②

指数找朋友 · 回杀痛点题

前面第 3 页的“套娃地狱”，现在一阶求导秒杀

📝 题目（就是那道热身题）

求证：当 x ≥ 0 时，ex ≥ 1 + x + x22。

⚙️ 找朋友打法

  • 同乘 e−x > 0：等价于 1 ≥ (1 + x + x22)·e−x；
  • 设 g(x) = (1 + x + x22)·e−x（x ≥ 0），则 g(0) = 1；
  • 求导：g′(x) = e−x·[ (1 + x) − (1 + x + x22) ] = −x22·e−x ≤ 0；
  • 所以 g 在 [0, +∞) 上单调递减，g(x) ≤ g(0) = 1；
  • 即 (1 + x + x²/2)e−x ≤ 1，两边乘回 ex：得证。∎

📊 两招对比

常规打法：三阶导数 + 一路套娃；
找朋友打法：1 次变形 + 1 次求导。
一阶搞定！

💬 弹幕时刻

朋友 (1+x+x²/2) 挨完全部火力 eˣ：我全程隐身 😎

STEP 4 · 例题闯关 ③

双招联动 · 压轴小菜

单身狗 + 找朋友，一起上！

📝 题目

证明：当 x > 0 时，ex − ln x > 2。

✨ 左半：eˣ 找人组队

由「找朋友法」已证 ex ≥ x + 1（对一切实数成立）；
当 x > 0 时等号取不到（等号只在 x = 0），故 ex > x + 1。

🐶 右半：ln x 单独放缩

由切线不等式 ln x ≤ x − 1（x = 1 取等）；
所以 −ln x ≥ −(x − 1) = 1 − x。

⚙️ 合体！

ex − ln x > (x + 1) + (1 − x) = 2

中间项 x 与 −x 刚好抵消 —— 拼图严丝合缝。∎

🎁 加餐：切线“两兄弟”

ex ≥ x + 1 与 ln x ≤ x − 1 对应的直线分别是 y = x + 1 和 y = x − 1，它们关于 y = x 对称 —— 因为 ex 与 ln x 互为反函数。指数的下限，就是对数的上限。

STEP 5 · 易错雷达

五个坑，先帮你踩平

口诀好用，但不能乱用

1️⃣ 定义域先行

ln x 要求 x > 0；分式、根式同理。先写定义域，再谈套路，否则一切白算。

2️⃣ 乘除要挑“安全牌”

同乘 e−x 永远安全（恒正）；若乘的是含 x 的式子（比如 x 本身），必须讨论正负并注意不等号变向！

3️⃣ 分离方向别弄反

a ≤ g(x) 恒成立 ⟺ a ≤ g 的最小值；a ≥ g(x) 恒成立 ⟺ a ≥ g 的最大值。最值取不到时，看端点的极限趋势。

4️⃣ 等号要能“同时成立”

多条不等式相加放缩时，取等条件往往无法兼顾（比如既要 x = 0 又要 x = 1）。取等冲突 → 结论升级为严格不等号。

5️⃣ 放缩别“放过头”

ln x ≤ x − 1 只在 x = 1 取等；题目若恰在 x = 1 附近要求精细，粗糙放缩可能证不出来 —— 需要换更贴切的切线或保留更多项。

✅ 保命三连问

① 定义域写了吗？
② 乘的是正数吗？
③ 取等条件能同时满足吗？

STEP 6 · 小测验

三连问，检验成果

先自己想 30 秒，再点开答案

用「指数找朋友」。同乘 e−x 得 1 ≥ (x2 + 1)e−x，设 g(x) = (x2 + 1)e−x，则 g′(x) = e−x(2x − x2 − 1) = −(x − 1)2e−x ≤ 0，g 递减，g(x) ≤ g(0) = 1。得证。（朋友的导数是个完全平方，舒服到不行。）

用「对数单身狗」分离参数：a ≥ ln xx 恒成立。设 h(x) = ln xx，则 h′(x) = 1 − ln xx2，在 x = e 处取最大值 h(e) = 1e。所以 a ≥ 1e。

ex ≥ x + 1（指数找朋友可证）与 ln x ≤ x − 1（对数单身狗 · 切线放缩）。相加后 x 项抵消，留下 2；因为取等条件（x = 0 与 x = 1）无法同时成立，所以是严格大于。

全部会做？你已经是口诀的初级大师了 ✨

STEP 7 · 拎包带走

一页纸速查卡

上考场前扫一眼，心里有底

🐶 口诀释义

对数单身狗：让 ln x 单独出现（分离参数、独立放缩）；
指数找朋友：给 ex 找个朋友捆绑（同乘 e−x）。

⚙️ 两个求导“神器”

  • [ex·g(x)]′ = ex·[g(x) + g′(x)] → 符号只看朋友；
  • (ln x)′ = 1x → 通分神器。

📐 必备不等式（切线兄弟）

  • ex ≥ x + 1（x = 0 取等）
  • ex ≥ ex（x = 1 取等）
  • ln x ≤ x − 1（x = 1 取等）
  • ln x ≥ 1 − 1x（x = 1 取等）
  • ln x ≤ xe（x = e 取等）

🗣️ 两条咒语

对数要孤独，指数要组队；
乘 e−x 永远安全，分离参数看最值。

小彩蛋：ex ≥ ex 与 ln x ≤ x/e 也是一对“对称兄弟”（互为反函数换元即可互相推出）。

STEP 8 · 课后作业

三题闯关，巩固套路

每题 5 分钟，先标套路再动笔

🐶 第 1 题 · 对数单身狗

求证：对一切 x > 0，ln x ≤ xe。

提示：用切线不等式 ln t ≤ t − 1，令 t = x/e。

✨ 第 2 题 · 指数找朋友

求证：对一切 x ∈ ℝ，ex ≥ ex。

提示：同乘 e−x，设 g(x) = x·e−x，找它的最大值。

🎯 第 3 题 · 恒成立求参

若 ex ≥ ax 对一切 x > 0 恒成立，求 a 的取值范围。

提示：分离得 a ≤ ex/x，最小值为 e —— 它正是第 2 题的另一张脸。

下期预告：指对同构 —— 当 ln x 和 ex 同框时怎么办？😉

FINISH · 通关！

口诀记牢，压轴不慌！

对数单身狗 · 指数找朋友

下次见，我会记得带上我的切线～
朋友们，撤！……记得写定义域！

复习三连：口诀释义 → 例题套路 → 速查卡

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